Теория функций комплексного переменного

Курс "Теория Функций Комплексного Переменного" читает кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МФТИ, Соровский преподаватель Карлов Михаил Иванович. Курс рассчитан на студентов старших курсов инженерно-физических и физико-технических специальностей вузов.

В курсе рассматривается теория и свойства функций компескного переменного, теория регулярных функций и построенная на их основе теория конформных отображений. Изложена теория многозначных аналитических функций, теория вычетов и ее применения для вычисления несобственных интегралов. Излагаются прикладные аспекты ТФКП, в том числе метод перевала.

Курс состоит из 18 лекций. Для успешного освоения курса необходимо знание основ математического анализа.

Вопросы экзаменационных билетов (2017)

1. Дифференцирование функций по комплексному переменному. Условия Коши-Римана. Понятие функции, регулярной в области.
2. Теорема об обратной функции (кроме потока Карлова М. И.).
3. Интегрирование функции по комплексному переменному. Основные свойства интегралов. Интегральная теорема Коши для регулярной Функции в односвязной области.
4. Интегральная формула Коши.
5. Дифференцирование интеграла типа Коши. Бесконечная дифференцируемость регулярных функций (кроме потока Карлова М. И.).
6. Степенной ряд и круг сходимости. Ряд Тейлора. Разложение регулярной функции в степенной ряд, единственность разложения.
7. Понятие ряда Лорана и его кольцо сходимости. Разложение в ряд Лорана функции, регулярной в кольце. Единственность разложения в ряд Лорана.
8. Теоремы Вейерштрасса (кроме потока Карлова М. И.). Регулярность суммы степенного ряда.
9. Теорема единственности регулярной функции.
10. Понятие первообразной. Достаточное условие существование первообразной у непрерывной функции.
11. Классификация изолированных особых точек однозначного характера по структуре главной части лорановского разложения (УОТ, полюс, СОТ).
12. Теорема о вычетах. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана.
13. Понятие целой функции. Неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана. Теорема Лиувиля. Теорема о разложении рациональной дроби в сумму простейших.
14. Теорема Сохоцкого для целых функций. Теорема Пикара (без доказательства).
15. Приращение аргумента z вдоль гладкого контура, его интегральное представление и свойства и свойства (логарифмическое свойство, незавимость приращения от параметризации). Общий вид регулярных ветвей многозначных функций Ln z и ⁿ√z в односвязной области.
16. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.
17. Лемма об открытости (кроме потока Карлова М. И.). Принцип сохранения области. Однолистность и многолистность в малом.
18. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие конформного отображения в области на комплексной плоскости. Критерий конформности в точке.
19. Понятие конформного отображения в расширенной комплексной плоскости. Теорема Римана о существовании конформного отображения и принцип соответствия границ (без доказательства). Общий вид конформного отображения единичного круга на себя.
20. Дробно-линейная функция и её свойства (круговое свойство, свойство сохранения симметрии).
21. Функция Жуковского и её свойства.
22. Конформые отображения, осуществляемые степенной и экспоненциальной функцими.
23. Гармонические функции двух переменных. Их связь с регулярными функциями. Принцип максимума модуля регулярной функции.
24. Классическая задача Дирихле для уравнения Лапласа. Единственность решения. Интеграл Пуассона для круга. Единственность решения.