Аналитическая геометрия

Вопросы экзаменационной программы (осенняя сессия 2017 года)

1. Направленные отрезки и векторы, линейные операции над ними. Свойства линейных операций. Векторное пространство. Коллинеарность и компланарность векторов. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Связь линейной зависимости с коллинеарностью или компланарностью векторов. Базис, координаты вектора в базисе. Действия с векторами в координатах.
2. Определения общей декартовой и прямоугольной (ортонормированной) системы координат. Матрица перехода и её свойства. Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой (частный случай).
3. Скалярное произведение и его свойства. Ортогональные проекции. Выражение скалярного произведения в координатах, выражение в ортонормированном базисе. Матрица Грама. Формулы для определения расстояния между точками и угла между векторами. Биортогональный (взаимный) базис.
4. Ориентация на плоскости и в пространстве. Смешанное произведение, его геометрический смысл и свойства. Векторное произведение, его геометрический смысл и свойства. Выражение смешанного и векторного произведений через координаты векторов. Условия коллинеарности и компланарности векторов. Формула двойного векторного произведения.
5. Общее понятие об уравнении множества. Алгебраические линии и поверхности, их порядок. Теорема об инвариантности порядка линии на плоскости (поверхности в пространстве) при переходе к новой декартовой системе координат.
6. Векторная и координатная формы уравнения прямой на плоскости и в пространстве. Условия параллельности (или совпадения), перпендикулярности прямых на плоскости, заданных в координатной форме. Пучок прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве.
7. Векторные и координатные формы уравнения плоскости. Условия параллельности (или совпадения) плоскостей, заданных в координатной форме. Расстояние от точки до плоскости в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
8. Алгебраические линии второго порядка на плоскости, их классификация. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии.
9. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства (начало, конец). Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
10. Асимптотические направления. Сопряжённые диаметры.
11. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды, их основные свойства (эллипсоида, гиперболоида и параболоида). однополостного гиперболоида.
12. Отображения и преобразования плоскости. Произведение (композиция) отображений. Взаимно однозначное отображение, обратное отображение. Линейные преобразования плоскости. Координатное представление линейных преобразований плоскости.
13. Понятие о группе преобразований (на примере афинных преобразований). Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства (образ прямой, изменение площади, образ линий второго порядка). Геометрический смысл модуля и знака определителя аффинного преобразования плоскости. Ортогональные преобразования плоскости и их свойства. Разложение аффинного преобразования плоскости в произведение ортогонального преобразования и двух сжатий.
14. Алгебраические операции с матрицами (сложение, умножение на число и транспонирование. Умножение матриц). Элементарные преобразования матриц. Обратная матрица.
15. Определение детерминанта. Определение детерминаната по формуле полного развертывания. Свойства детерминанта. Миноры, алгебраические дополнения. Детерминант произведения матриц.