Математический анализ. Первый семестр.

Курс "Математический анализ" читает профессор, доктор физико-математических наук Иванов Григорий Евгеньевич. Подробно изложена теория предела, дифференциальное исчисление функции одной переменной, теория вектор-функций, основы теории функции многих переменных. Для понимания курса необходимо знание математики в объеме школьной программы.

Вопросы эказаменационных билетов (осенний семестр 2017)

1. Действительные числа. Теорема о существовании и единственности точной верхней грани числового множества, ограниченного сверху. Счётность множества рациональных чисел, несчётность множества действительных чисел.
2. Предел числовой последовательности. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Единственность предела. Бесконечно большие последовательности. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с неравенствами (о предельном переходе в неравенствах, о трёх последовательностях). Арифметические операции со сходящимися последовательностями (предел суммы, произведения, частного, модуля. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число e.
3. Подпоследовательности, частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши существования конечного предела последовательности. Теорема о верхнем и нижнем пределах.
4. Определения предела числовой функции одного переменного в терминах окрестностей и в терминах последовательностей, их эквивалентность. Свойства пределов функций (связанные с арифметическими действиями, с неравенствами). Критерий Коши существования конечного предела функций. Теорема о замене переменного под знаком предела. Существование односторонних пределов у монотонных функций.
5. Непрерывность функций в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Односторонняя непрерывность. Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Непрерывность сложной функции. Точки разрыва, их классификация (точка устранимого разрыва, точка разрыва первого рода, точка разрыва второго рода). Разрывы монотонных функций.
6. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, достижимость (точных) верхней и нижней граней. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке, модуль непрерывности. Теорема об обратной функции.
7. Непрерывность элементарных функций (тригонометрических, обратных тригонометрических). Определение и свойства показательной функции, логарифмической и степенной функций. Замечательные пределы (первый замечательный предел, второй замечательный предел).
8. Производная функции одного переменного. Односторонние производные. Непрерывность функции, имеющей производную. Дифференцируемость функции в точке, дифференциал. Геометрический смысл производной и дифференциала. Производная суммы, произведения и частного двух функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные элементарных функций. Инвариантность формы дифференциала относительно замены переменного. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.
9. Производные высших порядков. Формула Лейбница для n-ой производной произведения функций. Дифференциал второго порядка. Отсутствие инвариантности его формы относительно замены переменного.
10. Теорема Ферма (необходимое условие существования локального экстремума). Теоремы о среднем Ролля, Лагранжа, Коши. Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа.
11. Основные разложения по формуле Тейлора. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида ⁰⁄₀. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида ^∞⁄_∞. Теорема о промежуточных значениях проихзводной (теорема Дарбу).
12. Применение производной к исследованию функций. Необходимые условия и достаточные условия монотонности, достаточные условия существования локального экстремума в терминах первой, второй и высших производных. Выпуклость, точки перегибаНеобходимые условия и достаточные условия выпуклости. Асимптоты (вертикальная и невертикальная).
13. Кривые на плоскости и в пространстве. Гладкая кривая, касательная к гладкой кривой, допустимая замена параметра. Оценка приращения вектор функции через производную. Длина кривой. Производная переменной длины дуги. Натуральный параметр. Кривизна кривой, формулы для её вычисления. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой.