В 1959 г. Анатолий Павлович с золотой медалью окончил среднюю школу, а в 1960 г. поступил на аэромеханический факультет Московского физико-технического института. В 1966 году А. П. Маркеев закончил институт (получив диплом с отличием), а в 1969 г. — аспирантуру при МФТИ, защитив кандидатскую диссертацию на тему «Исследование движения в некоторых задачах небесной механики».
Молодой кандидат наук стал сотрудником Института прикладной математики АН СССР, где работал в отделеД. Е. Охоцимского, занимавшемся задачами динамики космического полёта.
В декабре 1975 года А. П. Маркеев становится заведующим кафедрой алгебры и теории функций Московского авиационного института (МАИ), а в 1977 г. он приступает к работе в должности профессора кафедры теоретической механики того же института Опыт чтения курса теоретической механики студентам факультета прикладной математики МАИ, многочисленные методические находки лектора, выработанная им концепция преподавания механики студентам механико-математических специальностей нашли выражение в учебнике «Теоретическая механика» А. П. Маркеева (первое издание — 1990 г.).
За время работы Маркеева в МАИ под его научным руководством было защищено 13 кандидатских и 5 докторских диссертаций.
В 1987 году Маркеев становится ведущим (затем — главным) научным сотрудником Института проблем механики РАН.
В 2009 году А. П. Маркеев вернулся в родной для него Московский физико-технический институт, куда он был приглашён для чтения лекций по теоретической механике студентам факультета общей и прикладной физики